コアラにこだわっているのであれば、コアラ・パーク・サンクチュアリ・シドニーだとコアラと同じ部屋に入って写真を撮ることができます。
ただ、シドニーの中心地からは少し離れているので注意が必要です。

https://koalapark-sanctuary.com.au/

基本的には何もしなくても全ての駅に停まります。

https://transportnsw.info/sydney-lightrail-network-map

チャージに関しては駅する場合以外では、Appをご自身のスマホにダウンロードして所有しているOpal Cardとクレジットカード(デビットカード)を登録するとチャージ($10、$15、$20、$40もしくは$60)と残高確認が手元でできます。

https://transportnsw.info/apps/opal-travel

場所によって気温が違いますので、リンク先で気温はチェックできます。
ただ、現在は山火事が収束していませんので、注意が必要です。例えば、ブルーマウンテンに行かれるのであれば、マスクは必需品かもしれません。こちらもリンク先でチェックできます。

楽しい旅行になりますように。

天気予報
https://www.weatherzone.com.au/nsw/sydney/sydney
山火事情報
https://www.rfs.nsw.gov.au/fire-information/fires-near-me

英語環境のみでのShare Houseを希望するなら、https://www.gumtree.com.au/で探されてはいかかですか？
もし、日本人の同居を希望する場合はCheers（上記で回答済み）か日豪プレス（http://nichigopress.jp/）などのサイトで探せます

もう既にどなたが回答しれませんが、念のため

トラックワークという路線工事が終日行われるため、空港線はバスへの振り替え輸送になっています。

振り替え輸送の乗り場は慣れていないと探すのが難しいので、タクシーを利用するか、ホテルに滞在しているのであれば、ホテルからのシャトルを利用するのが無難かもしれしれません

日通やその他の業者の方がワインの輸送サービスを行っています。

日本へ帰国する際は、無税の範囲内のお酒しか持参しませんが、超えた場合は税金を払わなくていけませんよね。
それと、別送品扱いにするのか、個人輸入にするのかで、税金が違っているいる気がします。

基本的には光と音楽のイベントなので、夕方から始まる（一部のイベントを除きますが）と考えても良いかと思います。
具体的には、下記のリンク先（詳細は英語のリンク先）から情報は得られます

日本語
https://jp.sydney.com/destinations/sydney/sydney-city/vivid-sydney

英語
https://www.vividsydney.com/

6月16日まで各地で開催していますので、お気に入りのイベントに参加できれば良いですね

シドニーからウルルへ行くには、飛行機でエアーズロック飛行場まで行ってから、バスなどで近くに宿まで移動するのが一番便利だと思います。

シドニーからエアーズロックまでは直行便で約3時間ですが、JetStarとVirginがそれぞれ1日に1便ずつしか運行していないようです。
日程によって金額が違いますので、それぞれのサイトでチェックしてください。ただ、ご自身でエアーチケットを手配される場合は、宿までのバスもご自身で予約や購入する必要がある点に注意してください。

ご家族で楽しい思い出ができますように

7日間の現地ツアーは聞いたことが無いので、個々にツアーを申し込むしかないでしょう
例えば、ブルーマウンテン1日観光、ハンターバレー1日ツアーなど

また、シドニーやボンダイビーチを周回しているバス（日本語での案内が聞けるらしいです）があります。下記のリンク先で詳細を見れます
http://www.sydney.com.au/hop-on-hop-off-bus-tour-sydney-bondi.htm

レンタカーで観光するのであれば、下記のポイントはいかかででしょうか如何でしょうか。
・ブルーマウンテン
・ハンターバレー
・キアマ及びJervis Bay
オーストラリアで車で運転する時は下記の点に注意する必要があるでしょう
・日本に比べて高速運転
・ラウンドバード

楽しく安全に観光してくださいね