子供連れでのジョージア観光

初めまして。北欧在住で、秋に一週間ほどジョージア観光旅行（主にトビリシ）を計画している者です。
２歳児と０歳児を連れての家族旅行なのですが、子供関連でいくつか質問させてください。

１、病院について
怪我や急な病気など何かあった場合に病院はどれほど信頼できるのか、利用しやすいのかが気になっています。
旅行保険には入っていますが、例えば医師と英語でやりとりできるのかや、予約なしに行ってどれだけ待たされるのかなどご存知の方がいらっしゃいましたら教えてください。
また大きな怪我などで近隣の国に飛んだ方がいい、などの情報もあればお願いいたします。
（EU内どこでも利用できる保険証も持っています）

２、公共交通機関やトビリシ市内でのベビーカー利用
北欧ではバス、電車、メトロなどどこでもベビーカーで乗り降りでき、駅にも必ずエレベーターがあるのですが、トビリシではどうでしょうか？
またとある英語掲示板で、石畳と坂道が多いのでベビーカーはオススメしないとありましたが、地元の方々はどう生活されていますか？レストラン・カフェなどにベビーカーを連れて入るのはご迷惑でしょうか？

３、トビリシからの小旅行
せっかくなのでジョージアの自然にも触れたいと思うのですが、トビリシから日帰りや１〜２泊で気軽に行ける場所があれば教えてください。
長距離バスで10時間、などはちょっと移動が難しいのですが、電車、バスで数時間程度であったり、運転が極端に難しくなければ（道が悪い・マナーが悪いなど）レンタカーの利用も視野に入れています。

長くなってしまいましたがひとつでもご回答頂けますと幸いです。よろしくお願いいたします。