フランスで入国審査を受けた場合、バルセロナでは審査はありません。
荷物を取って、そのまま入国できます。

空港近くのホテルはとても高いですし、また、多くは少し歩かなければ到着しません。
スーツケースを持っての移動は大変だと思います。
到着後、そのまま市内に移動して宿泊されることをお勧めします。
なお、空港バスなど24時間運行していますし、タクシーもあります。
ただし、ホテルには、到着が深夜になることを伝えておいた方がよいでしょう。
そうしないと、キャンセルされてしまう可能性がありますので。

・当該ホテルのある地域の治安
住宅街になりますので、観光エリアや下町より治安はいいです。

・ホテル付近の利便性　スーパーやバル、カフェなど
住宅街ですので、観光エリアのような観光客向けの飲食店は少なく、どちらかというと地元民向けのバルが多いです。
大型スーパーはありませんが、少し歩けば、コンビニや小さめのスーパーがあります。

・空港からのアクセス　
タクシーはもちろんのこと、Aerobus+地下鉄、Aerobus+市バス、地下鉄+地下鉄、Renfe+地下鉄などあります。

「より良いホテル」というのは、何をポイントにされるのか、目的は観光かビジネスか、現地公共交通機関を使いこなせるか、英語かスペイン語で意思疎通ができるか等によって条件が異なると思います。
もう少し詳しい情報を提示された方が回答が付きやすいと思いますよ。

どちらの国からマドリードに到着されるのかわかりませんが、日本のパスポートならば、一時入国の手続きをして入国可能です。
ただ、１月の日の出は8時半頃ですので、空港から出られる頃はまだ暗いですし、週末ということもあり、その時間帯は街中の人通りも少ないです。
観光施設も10時以降の開館がほとんどで、ショップも営業時間前です。
なので、薄暗い朝7時～9時の観光というのは難しいと思います。
少し退屈でしょうが、空港内で余裕をもって時間をつぶされる方が無難ではないかと思います。

サンハ゜ウ病院のイルミネーションチケットは、オンラインで販売中です。
18ｈ～21ｈの入場で30分きざみで予約時間が設定されています。
11月25日～28日は、12€→8.50€とディスカウントがありますが、他の日は、12€（18歳以上65歳未満）です。

カタルーニャ音楽堂は見学ツアー希望でしたが年末はイベントでしか内部に入れないようでした。
➡ ツアーも自由見学も、年末年始も入場できますよ。
オフィシャルサイトをご確認下さい。

音楽堂の撮影スポットである、トレンカディスの柱などは、昼の採光の方が美しく見えます。
また、夜、催し物で入場した場合は、この柱があるテラスは閉鎖されていますので、外からしか観られません。

１日の午前中までご滞在ということですと、正味１日の観光ですね？
ご滞在されるホテルの情報等ありましたら、効率的なルートをご案内できると思います。
また、移動手段はどうなさるのか、現地に慣れていらっしゃるのか、英語かスペイン語を理解なさるかなどによっても、ルート設定が異なってきます。

レストランですが、17時頃までは開いているところが多いです。（現地のランチタイムが、13時半～16時のため）
バルですと、夜まで開いているところもたくさんありますよ。
観光地エリアか、住宅街か、また、個人営業のお店かによってマチマチです。
とにかく、食事難民になることはないでしょう。

LA ROCA VILLAGEは、バスの予約もした方がいいでしょうし、ここに行くと半日強はかかります。

グエル公園は、朝イチが望ましいです。
人も少なめですし、お天気が良ければ、地中海と市内を見渡す絶景が観られます。

サグラダ・ファミリアは、塔に上るなら早い予約が必要です。
また、宗教行事等があると、一般入場ができなくなる場合があります。

これ以外には、カサ バッジョ、カサ ミラ、グエル邸、カテドラルなどたくさん見どころはありますが、１日の観光ではかなりハードだと思います。
以前に綿密なプランを立てておかれることをお勧めします。

Vicensはいかがですか？
Torronsが有名ですが、小ぶりのものもあり、個別包装してあるのでばら撒くことができます。
でも、数がいるのなら、少しお値段がはってしまいます。

そこで、個装包装したチョコボールもいいですよ。
数種類の味があり、好きなだけ取って量り売りです。

ただし、すべての店で全商品、売っているわけではないので、できれば品数の多い大きなショップに行って下さい。
ランブラスにあるショップは、場所的にも行きやすく、大きいです。

サイズは、国によって基準が異なります。
フランス、イタリア、イギリス、そして日本など、同じ商品によっても各国によって異なります。
たとえば、１つのサイズでも、フランスは48、イタリアは54、イギリス、アメリアは42といったふうに。

衣類についているラベルに国別に記載してあるはずですので、出品者に確認なさると良いかと思います。

①　各観光施設のHPをご覧になると営業日が記載されています。
1日は休みのところが多いので、観光はその日を避けると良いでしょう。
２日からは、企業なども通常に稼働しています。（日本の「三が日」はありません）
サグラダ・ファミリアはミサなどの宗教行事が優先されますので、HPでカレンダーを確認下さい。

②　25日 (クリスマス)、26日(カタルーニャ州の祝日)と１日は休業のところが多いですが、観光エリアならば結構、開いていますので喰いっぱぐれることはありません。
ちょっとしたレストランなら予約された方が良いでしょう。

③　カウントダウンなど屋外のイベントをお好みならば、楽しめると思います。
純粋に、文化施設の観光をというのなら、気候の良い春秋が良いかと思います。
しかし、バルセロナは地中海性気候ですので、温暖でどの季節でも日本よりは過ごしやすいかと思います。

いきなり、現地の業者と交渉するには、かなりハードルが高そうですので、現地で日本風の雑貨などを販売しているショップに問い合わされてはいかがですか。

「1/1のバルセロナ市内から利用で、地下鉄と空港までのエアロバス」は運行しています。
24時間運行です。

05:35 - 07:15 10分間隔
07:15 - 22:30 5 分間隔
22:30 - 01:05 10分間隔
01:05 - 5:35 20分間隔

現時点では、上記のような運行時間となっていますが、念のため、直近に再確認なさってください。