日本のパスポートをお持ちで、観光のための短期滞在で、荷物も通常の観光旅行程度の状況であることを前提にお答えします。
入国審査ではパスポートを提示するだけで、特に細かい質問もなく入国のスタンプが押されると思います。
税関検査は、申告の必要なしで無検査を前提としているので、自己申告をするか担当者に審査必要と判断されて呼び止められない限り検査はないと思います。
どちらも特段書類の記入提出の必要はありません。

ウイーンの状況ですが、強制ではなくなったのでマスクをしていない人も増えてきていますが、公共交通機関の中では半数以上8割以下くらいの人がマスクをしていると思います。
私もFFP2マスクをしています。
FFP2マスクはスーパー薬局等いろんなところで購入できます。
日本で買えるKN95 KN94のマスクもほぼ同等ですからこれらを使ってもいいともいます。
現状は強制ではありませんから違うマスクをしても注意を受けることはないと思います。

ここ数週間ですっかり寒くなりました
今週金曜の予報では最低気温5℃最高気温17℃です
日本の晩秋から初冬くらいの服装を用意されると良いと思います
日によって寒暖差がある可能性があるので重ね着で調整しやすい服装にされるといいと思います

- 日によりますが、現在で明け方は10度前後、昼間で20－25度くらいです。日本の晩秋から初冬くらいの服装を用意されるといいと思います。
- 郊外であれば交通量はさほど多くないと思いますので、高速道路中心の移動であればむつかしくはないと思います。高速道路の料金は期間ベースでの前払いで、利用の都度は払いません。1年、2か月、10日のいずれかの単位で前払いします。レンタカーだと高速道路利用込みかもしれません。借りるときに確認してください。
https://www.asfinag.at/en/toll/vignette/

電車のスケジュールを見てみましたが、一番早いので　05:11着、バスだともうちょっと早いのもあるようです。
https://fahrplan.oebb.at/webapp/?context=TP&SID=A%3D1%40O%3DWien%20Hbf%20(U)%40X%3D16375326%40Y%3D48185507%40U%3D81%40L%3D1290401%40B%3D1%40p%3D1659613065%40&ZID=A%3D1%40O%3DFlughafen%20Wien%40X%3D16562571%40Y%3D48119859%40U%3D81%40L%3D1193001%40B%3D1%40p%3D1659613065%40&date=09.08.2022&time=05:00:00&timeSel=0&returnTimeSel=1&journeyProducts=7167&start=1&context=TP&SID=A%3D1%40O%3DWien%20Hbf%20(U)%40X%3D16375326%40Y%3D48185507%40U%3D81%40L%3D1290401%40B%3D1%40p%3D1659613065%40&ZID=A%3D1%40O%3DFlughafen%20Wien%40X%3D16562571%40Y%3D48119859%40U%3D81%40L%3D1193001%40B%3D1%40p%3D1659613065%40&date=09.08.2022&time=05:00:00&timeSel=0&returnTimeSel=1&journeyProducts=7167&start=1&#!P|TP!histId|1!histKey|H559634

日本まで移動されるのでしたら、乗り継ぎがあってもウイーンで書類チェック等ありますのでもう少し早く空港に入られることをお勧めします。ヨーロッパ内の移動であれば1時間で十分だと思います。

領事レターについては事例数も少なく、大使館領事館ごとに手続きや判断基準が違ったりするのでウイーンで確実に通用する手順を言い切るのはむつかしいのではないでしょうか。
お問合わせ中のようですが、大使館からの返事に従うのが最善かと思います。
一般論ですが、Youtubeに上がっている領事レターに関する情報をお示ししますので、ご存じでなければ参考にしてみてください。
https://www.youtube.com/watch?v=ewluMYnSAPA&list=PLEOQBni5szdmck1Ghr-w__0hBY-4ByLts&index=9

オーストリアでの諸般の規制はその時々の状況に合わせて迅速にへんこうされるので7月の時点での規制の予測はむつかしいと思います。
現状では美術館レストラン等での証明書の提示は求められていません。
規制がきつくなった場合にはワクチン証明か治癒証明を求められる(陰性証明ではだめ)ということになる可能性がありますので、ワクチン接種をお勧めします。
現在の規制については、日本大使館のHPに簡潔にまとめられているのでこちらを随時参照されることをお勧めします。
https://www.at.emb-japan.go.jp/itpr_ja/coronavirus_ja.html

COVID以来出かけていませんのでそれまでの一般論になりますが、
イルミネーション: 年明けくらいまでやっているところは多いと思います
クリスマスマルクト:クリスマスあけも開いているところはありますが、あいてて年末まで。クリスマスが済むと閉めるところが多いと思います。
お店についてですが
12月24日は午前中まで、 25日は祝日なのでしまっていると思います。
通常の土曜日であれば18時まで開いているところが多いと思います。

オーストリアのパートナーシップ制度については経験がないのでわかりませんが、その前の入国について。
現在オーストリアには、自国民等か職業上入国が必要な場合を除いて入国できません。
https://www.at.emb-japan.go.jp/files/100176022.pdf
日本人へのビザなし入国も去年以来停止されています。ご提示の例だと入国できないと思いますのでオーストリア行の手配をされる前に慎重にご確認ください。パートナーシップ制度の手続きを日本なりニュージーランドでできるのであれば先に済ませてオーストリアでの居住権を得てから来られることをお勧めします。またニュージーランドなり東京なりのオーストリア大使館でご確認の上行動されることをお勧めします。