人数は何名様でしょうか？
基本的には空港にいるタクシーで問題なく行けると思いますが、人数によっては2台になってしまうと思います。
空港にあるリムジンサービスなら7人乗りのバンとかもあったと記憶しています。タクシー2台になるならこちらのほうがトータルは安いかもしれません。
ホテルから九份/十份へも、タクシーでもチャーターでも行けますが上記と同じ問題があります。
ホテルに７人乗り等の大きめの車があるならそれをチャーターするのもありかもしれません。
私のほうで車のみを手配することも可能です。

ガイド料金の目安は一般的な観光アテンドの場合は2,000~2,500円/時間頂いています。
ただし予算等あればご相談には応じます。
終了の時間については多少過ぎてしまっても構いません。
希望の食事等があればそれも遠慮なくおっしゃって下さい。

車をチャーターする場合、一番安いのは友人のタクシー運転手さんが運転する車で、こちらはNTD500/時間になります。
遠距離移動（例：九份、十份等）の場合には別途見積もりとなります。
また、こちらの車代は現地でNTDでの精算をお願いしています（システムを通すと手数料30%取られてしまうので）。

宜しくお願い致します。

A1.
紙に文字を書いて話しをすることは可能だと思います。
人数的にはタクシーだと大きめのタクシー（Wish等）2台になるかと思います。
イメージ的にはチャーターになるので、高雄から台南のホテルに到着するまでの3~4時間くらいの値段交渉になります（高雄空港から蓮池潭まで約30分、蓮池潭から台南まで約1時間）。
通常は1台NTD500~700/時間くらいでチャーターできると思いますが、人数が多いのでもう少し高めに言ってくるかもしれません。予算があるならそれを事前に交渉時の紙に書いても良いかもしれません。
A2.
マイクロバスのチャーターは確かNTD1,200/時間だったと思いますが、台数が少ないので必要なら早めに予約したほうが良いです。私のほうで手配することも出来ます。

参考になれば幸いです。

ミラマーガーデンホテルのホームページに桃園空港からのアクセス情報があります。
　https://goo.gl/6GPKSJ

タクシーだとNTD1,000~1,200くらいだと思います。
ホテルのリムジンサービスを頼むと恐らくNTD1,200～1,500くらいだと思います。

宝石店があるようなので購入可能と思います。
またゴールドバーについては台湾銀行でも販売しているようです。
ネットでも沢山売っています。
専門の業者さんも台北市内に何件かあるようです。

通常ビジネス同行の場合は3,000~3,500円/時間頂いています。
ですので、8時間では24,000～28,000円、4時間であれば12,000～14,000円になります。
ただし予算等あればご相談には応じます。
終了の時間については多少過ぎてしまっても構いません。

ただ、既に別のアテンド依頼が6/5-6に入ってしまっているので、6/7-8であれば対応可能です。
詳細については個別の相談/依頼として申請して下さい。
相談のみであれば料金は発生しませんので御安心下さい。

MRT民権西路から桃園空港へ行くバスは「1841」になります。
ただ、数字から漢字の名称に路線バスの名称が変わってきているのでtomanさんが来られるときにこの番号のままかは分かりません。
Google Map で普通にバスの乗り換えも案内してくれますのでそちらを参考にされると良いと思います。

大体1時間ちょっとで桃園空港に着きますが、道路状況によっては変動するので余裕をもって行動されることをお勧めします。

猫空は台北市内中心部から南東、その他のご希望の場所は北東になります。
効率的に回るなら猫空は別の日にしたほうが良いと思いますが、距離的には市内からその他の場所ほどは遠く無いので回ろうと思えば回れると思います。
夕方九份に居たいとのことですので以下の2つが考えられると思います。
＜一日で全部回るコース＞
　台北市内 -> 猫空 -> 十份 -> 金瓜石 -> 九份 -> 台北市内
＜二日に分けるて回るコース＞
　一日目：台北市内 -> 十份 -> 金瓜石 -> 九份 (-> 基隆夜市) -> 台北市内
　二日目：台北市内 -> 猫空 (-> 動物園) -> 台北市内

十份の滝は駐車場から往復で30分くらいかかるので、滝を見る時間をいれると1時間程度の行程になります。
その他の場所も基本的には徒歩が多いので御注意下さい。

効率的に回るなら車をチャーターすることをお勧めしますが、公共交通機関を利用する場合は電車/バスの乗り継ぎ等事前にある程度調べてから行動しないと待ち時間が多くなってしまうと思います。

ご参考になれば幸いです。

台湾のコンセントはグランド端子付きの三端子のものが多いですが、二端子として使うなら日本のものと全く同じです。
電圧が110Vなので基本的にはほとんどの電気機器はそのまま使えますが、ものによっては動作しないものもあるかもしれません。